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2025-11-27 阅读量：3 留美汇
AP微积分BC冲刺5分！
名师辅导拆解积分 + 级数核心考点（附真实学生提分案例）
每年临近 AP 大考，最能让同学们心跳加速的科目之一，就是——
AP Calculus BC（微积分 BC）。
因为它不仅内容多、进度快，更关键的是：
积分 + 级数 这两个单元几乎决定了你能不能冲到 5 分。
很多同学平时 Quiz/Test 还能拿个 B，
但一写 FRQ 就懵；
看到 Taylor Series 更是怀疑人生：
这个式子怎么展开？
要不要用余项？
条件怎么判断？
收敛区间要不要写端点？
如果你现在也处在“卡在积分”和“级数看不懂”的状态，别急。
今天我结合留美汇教育多年 AP BC 辅导经验，用最生活化的方式给你拆清楚这两个高频考点，并分享一个真实的 5 分逆袭案例。
�� Part 1：积分（Integration）为什么是 BC 冲 5 分的“分水岭”？
因为积分在 AP BC 中不只是“算算算”，而是：
计算题 + 应用题 + 建模题 + 理解题 全都混在一起。
常见的坑包括：
积分换元不会判断要不要加常数
分部积分用错顺序
积分图像题读不懂
体积题（旋转体/壳法）不知道用哪个方式
FRQ 不知道怎么写“给分点”
留美汇导师常告诉学生一句话：
BC 的积分不是数学难，而是“不会按照 AP 的方式得分”。
我们内部甚至有一个积分“提分公式卡”，每次辅导都会让学生重复用：
�� 【积分提分 5 大核心技巧】
先看能不能换元（u-sub）
再看能不能分部（LIATE 原则：Log → Inverse → Algebra → Trig → Exp）
看是否需要拆分成可积小段
几何图形优先用面积公式（省时间且更稳）
FRQ 每写一步都确保有“关键词”（AP 评分重点）
很多学生在做 FRQ 时丢分，不是不会做，而是：
没写单位
没写“理由句”
没写“根据 FTC 得到…”
没按照步骤给分点写
我们在辅导里会直接把历年 FRQ 拆解成“模板化步骤”，学生每写一题就会自然套用。
这就是为什么我们能让学生从 “会做但丢分” → “稳步得分”。
�� Part 2：级数（Series）是 BC 最“玄学”，但最容易提分的单元
很多学生一看到级数就头大，其实级数的提分逻辑很简单：
级数的核心不是公式，而是判断。
留美汇老师总结：
级数要学会的不是“算”，而是“判断 + 套规则”。
�� 【级数必背 4 大判断工具】
收敛性测试（Convergence Tests）
Ratio Test（最爱考，决定 5 分关键）
Limit Comparison Test
Alternating Series Test
Integral Test
泰勒级数展开（Taylor Series）
sinx, cosx, ex, ln(1+x) 四大母公式
余项（Remainder）判断要不要写
收敛区间（Interval of Convergence）
先做 Ratio → 再检查端点
多项式逼近（Polynomial Approximation）
使用近似时一定要写“因为在某区间内收敛”这种理由句
我们内部会做“级数训练营”，每个概念都用生活化举例，比如：
Alternating Series 就像“正负交替的过山车”
Ratio Test 像“把级数变成一个比例，看它越滚越小还是越变越大”
Taylor Series 是“函数的压缩版翻译”
学生常说：
“以前级数是天书，现在是套路题。”
�� Part 3：留美汇 AP BC 名师辅导方法（实战）
我们能让学生在短时间冲到 5 分，靠的是“三步法”：
⭐ 第一步：掌握 AP 的“得分方式”
不是数学逻辑，而是 AP 的出题逻辑＋评分规律。
老师会把 FRQ 逐题拆成：
给分点
步骤图
模板句
评分陷阱
学生做 3 套就能明显提速＋提分。
⭐ 第二步：积分类题型拆分 + 模板刷题
我们把积分题拆成：
换元题
分部题
图像题
区间计算题
体积题
速率运动模型题
每一类配 10—15 道精选题（非海量刷题），比盲目刷题高效太多。
⭐ 第三步：级数“判断系统”
级数不讲复杂数学推导，而是：
一个决策树帮你判断用哪条测试
一个模板帮你写收敛性证明
四个母公式 + 三个常考展开方式
两类典型错误直接斩断
学生普遍反馈：
“第一次觉得级数可以这么清晰。”
�� Part 4：真实案例
6 周，从 60 多分基础 → FRQ 44/54，成功拿下 AP BC 5 分！
学生：Kevin，10 年级，美西寄宿学校
起点非常典型：
FRQ 基本写不完
级数完全不懂
积分速度慢
选择题正确率 55%—65%
学校老师进度飞快，课堂几乎听不懂
�� 留美汇辅导策略：
3 次课重建积分体系
换元、分部、图像
体积模型题模板化
4 次课教会级数整个判断系统
Ratio Test 冲刺
Taylor Series 全部展开＋应用
每周一次 FRQ 专项训练
考前做 2 套模拟卷 + 错题复盘
考前 3 天做“重点再压缩”训练
�� 最终成绩：
FRQ：从 26/54 → 44/54
MCQ：从 58% → 85%
最终 AP 成绩：5 分
Kevin 后来说：
“BC 被我从恐惧变成自信。没有你们，我肯定死在级数上！”
�� 写在最后
如果你：
积分有基础但速度慢
级数完全不懂
FRQ 经常丢步骤分
知识学得多，但不会用在题目里
想冲刺 AP BC 5 分
觉得学校老师讲得太快跟不上
那么你只需要做一件事：
跟对老师，用对方法，剩下的交给系统训练。
留美汇教育已经帮助 3000+ AP 学生 用结构化方法拿到理想分数。
如果你愿意，我可以帮你做：
�� 你的积分薄弱点诊断
�� 级数掌握度评测
�� 建议你选几节课、需要多长时间冲到 5 分
�� 个性化 AP BC 冲刺规划
告诉我你现在的 BC 水平，我可以马上给你做一个 3 分钟的“BC 冲刺能力测评”。
